Wat is het verband tussen de infinitesimaal en de democratie?

Naar aanleiding van een artikel in Trouw over een dit jaar verschenen boek van Amir Alexander, Infinitesimal: How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the Modern World. [Macmillan/ Scientific American/ Farrar, Straus & Giroux, 2014 - books.google] ben ik even op 'onderzoek' uitgegaan: Spinoza komt er niet in voor. Net zoals niet in een vergelijkbaar eerder boek Michel Blay, Reasoning with the Infinite: From the Closed World to the Mathematical Universe [University of Chicago Press, 1999 - books.google]. Maar met de kwesties die in die boeken behandeld worden hield ook Spinoza zich bezig.

In hoeveel stukjes kun je een lijnstuk verdelen? Lijkt een simpele kwestie: je kunt beginnen hem in twee te delen, die stukken weer in tweeën te delen, en zo verder doorgaan. Altijd maar doorgaan? Tot in het oneindige? En hoe groot zijn die kleinste stukjes dan? Als de uiteindelijkste stukjes een lengte van nul zouden hebben, hoe kan daar dan een lijn met lengte uit ontstaan? Bestaat een lijnstuk uit een oneindig aantal niet meer deelbare punten met een lengte van nul? Je zat zo midden in de paradoxen en voor Aristoteles konden daarom continue lijnstukken niet uit ondeelbare bouwstenen bestaan. De grote antieke wiskundige Archimedes durfde het aan met de aanname te rekenen dat cirkels en bollen bestonden uit oneindig aantal lijnen, resp. vlakken van ondeelbaarheden en daarmee bereikte hij bruikbare resultaten. Maar je moest op je hoede zijn en je gezond blijven gebruiken, anders kon je onzinnige resultaten bereiken en foute beweringen doen. Na hem verdween zijn methode dan ook uit beeld tot deze in de loop van de 16e eeuw werd herontdekt en men begon de mogelijkheden ervan opnieuw te onderzoeken.

Over de oplossing van de paradoxen die lijken te ontstaan bij rekenen tussen nul en oneindig ontstond een diepgaande en gepassioneerde strijd die in de 17e eeuw nog geen bevredigende oplossing had. Tegenover elkaar stonden degenen die de geometrie à la Euclides voorstonden en de dissidenten die een vernieuwing met infinitesimalen aandurfden.

          
Illustratie uit Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647), Geometria indivisibilibus continuorum nova quaedam ratione promota,1653 - books.google 

De klassieke Euclidische geometrie werd beschouwd als een top-down benadering waarbij alle stellingen via pure logica volgden van uit zich evidente axioma's en heldere definities; alles is zo absoluut bewijsbaar met absolute zekerheid als resultaat; en om zekerheid ging het immers. Alles kreeg zo zijn ordelijke plaats in een hiërarchisch ordelijk geheel. De benadering via infinitesimalen kon beschouwd worden als bottom-up benadering op basis van ervaring - met risico van vreemde resultaten, chaos, verwarring, waardoor wiskunde niet meer vertrouwd zou kunnen worden. Wat was dan nog betrouwbaar?

Rekenen met infinitesimalen of ondeelbaarheden stond voor een vrijheid van denken die als bedreigend werd gezien voor de politieke orde volgens Hobbes en het theocratisch ideaal van de jezuïeten die aangesteld waren om de RK kerk te verdedigen.

De jezuïeten hadden euclidische meetkunde als een bolwerk in hun opleiding. Net als in de geometrie kon in het geloof uitgegaan worden van een aantal fundamentele waarheden en de gelovigen konden erop vertrouwen dat de uitspraken die de kerk daaruit afleidde, klopten en dus geldig waren voor het leven. Het rekenen met infinitesimalen stond voor vrijheid en voor waarheid ontdekken van onderop. De jezuïeten verzetten zich dan ook fel tegen de infinitesimalen. Tot in de 17e eeuw was Italië de hoofdstad van de wiskunde: Galileo, Gerolamo Cardano, Federico Commandino. Door het verzet van de jezuïeten tegen de infinitesimalen was rond 1670 die hegemonie volkomen voorbij.

Een vergelijkbare strijd werd t.t.v. de burgeroorlog in Engeland gevoerd door Thomas Hobbes. Net als de jezuïeten in Italië meende Hobbes dat orde alleen bereikbaar was door dissidenten eruit te gooien - door een absoluut logische staat te stichten waar de soeverein (als bij een geometrisch bewijs) van bovenaf zijn macht doorvoert. Eén van de terreinen waarop hij streed was tegen de infinitesimaal tegen de wiskundige en medeoprichter van de Royal Society, John Wallis - auteur van Arithmetica infinitorum en uitvinder van het symbool voor oneindig: ∞

Wallis verdedigde zowel de infinitesimaal als de democratie. "What you have to build now is some space where dissent can be allowed, within limits at least. Build a society and build a social order from the ground up rather than imposing it by one single law." (Aldus vat Alexander Wallis samen)

Uiteindelijk verloren zowel de jezuïeten als Hobbes. De infinitesimaal en de democratie wonnen.

                                                * * *

Jammer dat Spinoza niet aan de orde komt. Spinoza heeft dan wel geen bijdrage geleverd aan de infinitesimaal of de ontdekking van het differentiaal rekenen, maar ook hij dacht zoals we weten zeer na over het oneindige. Maar daar volgens Amir Alexander in de tegenstelling tussen Hobbes en John Wallis behalve de tegenstelling tussen euclidische en infinitesimaal wiskunde ook een tegenstelling waar te nemen is tussen autoritaire hiërarchische ordening enerzijds en democratie anderzijds, kan Spinoza hier niet ingepast worden. Spinoza lijkt ook hier weer anomaal: zowel voorstander van euclidische geometrie als van democratie (macht van onderop).

Is dat wellicht een reden waarom de Tractatus Politicus niet volgens de euclidische geometrie is (kon worden) opgezet?

___________________

BAS DEN HOND, Van God los, maar het werkte. In: Trouw 3 mei 2014

Eerste hoofdstuk: "The Children of Ignatius" van Amir Alexander, Infinitesimal: How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the Modern World. [PDF]

Review New York Times: The 16th Century’s Line of Fire. ‘Infinitesimal,’ a Look at a 16th-Century Math Battle [Cf.]

Gesprekje met auteur Amir Alexander [te beluisteren]