Spinoza en Gödel

Kurt Gödel (1906 - 1978)Naar aanleiding van enige recente reacties waarbij Gödel aan de orde was, dacht ik een heel blog over Spinoza en Kurt Gödel te schrijven, waarbij overigens mijn hoofdopzet zou zijn om de bezoekers van dit blog op een interessant en uitdagend artikel te wijzen van Martin Zwick, “Spinoza and Gödel: Causa Sui and Undecidable Truth.” North American Spinoza Society, NASS Monograph 13 (2007), 46-52. [PDF]
Aanvulling15-8-2013: het stuk blijkt op die link verdwenen, maar is nog wel via andere link op de site van de Portland State University te vinden.

Maar daar het vandaag heel warm wordt, volsta ik met het wijzen op de link naar het PDF van dat artikel dat door iemand op internet is geplaatst.
Kortom, ik laat het hierbij, en ga niet proberen heel slim te doen door er wat over te zeggen. Het is een dag voor luie loomheid...

Over Gödels twee onvolledigheidsteorema’s is voldoende op internet te vinden, b.v. hier op wiki, maar het interessante artikel van Martin Zwick legt het zelf voldoende uit en geeft een fraaie toepassing op Spinoza's Ethica.

Reacties

Stan bedankt voor de verwijzing. Het gaat om materie die me erg interesseert en de auteur is duidelijk erg beslagen (hij blijkt trouwens ook een artikel geschreven te hebben over één van mijn andere favoriete onderwerpen, namelijk het probleem van de realiteit van de quantummechanica - wat een toeval zou ik zeggen als ik Spinoza niet kende ).
Ik heb wel moeite met de redenering die in het artikel wordt opgebouwd (de analogie tussen causa sui en de, ware maar onbewijsbare, Goedel propositie (=G)). Meer bepaald op het punt waar gesteld wordt dat, gezien het parallelisme, iedere G (of meer algemeen ieder axioma) als idee een equivalent moet hebben in de fysische wereld. Martin Zwick lijkt me te besluiten dat dit equivalent alleen het (oneindige) fysische geheel kan zijn, gezien alleen dit causa sui is.
Hier volg ik niet meer. We zijn hier mi precies bij de kwestie aangeland die enkele maanden geleden op dit blog uitgebreid werd bediscussieerd, met name: wat is de positie van “ideeën van ideeën (van ideeën van …)” in de metafysica. Een axioma (in de menselijke geest) is een (zeer abstract) idee dat tot stand is gekomen door het afleiden (= werking van de ratio) van “gemeenschappelijke kenmerken” van ideeën van dingen uit de uitgebreidheid. Een axioma is dus een idee met als ideatum andere ideeën (van ideeën…), maar niet rechtstreeks dingen uit de uitgebreidheid. En nu komt het punt waarin ik afwijk van Zwick en de vermelde vroegere discussies: mi gaat de parallellisme these NIET op voor ideeën van ideeën (van fysische objecten). Er is geen fysisch equivalent voor een axioma. Om voort te gaan met de analogie die we gebruikten in de discussie van een paar maanden geleden: het idee (in de menselijke geest) van een perfecte cirkel is een idee(gemeenschappelijke notie) van ideeën van in de fysische werkelijkheid bestaande cirkels. Het idee van de perfecte cirkel heeft echter geen parallelle modus in de uitgebreidheid: er bestaat mi geen perfecte cirkel in de uitgebreidheid. In tegenstelling dus tot wat Adrie Hoogendoorn stelde: dat deze cirkel in de uitgebreidheid wel bestaat, omdat het idee van deze cirkel in God is en al wat God denkt ook bestaat in de fysische werkelijkheid.
Ik ben Adrie (en Martin Zwick) aan het tegenspreken – iets wat ik een paar maand geleden waarschijnlijk niet gedurfd zou hebben, maar intussen wel – hopelijk gaat het hier niet om de zelfoverschatting van de beginneling die zijn eerste vorderingen gemaakt heeft…Ik voel me echter ook gestrekt door wat ik in de –ook eerder in deze blog vermelde- doctoraatsthesis van Sanem Soyarslan las: Spinoza erkent het begrip “ens rationis”, zijnde een product van het verstand dat ons helpt te redeneren maar dat niet bestaat in de werkelijkheid (ik neem aan dat werkelijkheid hier staat voor uitgebreidheid) (KV1, X; EIIP49S; brief 83 aan Tschirnhaus). Gueroult (1974, 376) stelt dat geometrische figuren dergelijke “entia rationis” zijn.
Alle reacties worden uiteraard in dank aanvaard…

Mark, een uitdagend artikel van Martin Zwick wordt nóg uitdagender door jouw commentaar. Ik maak puntsgewijs een aantal opmerkingen, deels over het artikel van Zwick en deels over jouw reactie.
[1] Het is nog maar de vraag of Gödels onbeslisbaarheidsstelling opgaat voor een niet-getallen-systeem als dat van Spinoza. Er wordt in de Ethica niet gerekend. Maar goed, er is duidelijk sprake van een notie van oneindigheid in Spinoza’s formele systeem (een van de voorwaarden), dus laten we aannemen dat de Ethica aan Gödels voorwaarden voldoet.
[2] Gödel stelt dus dat er altijd (minstens) een axioma of stelling in een formeel systeem aanwijsbaar is dat/die niet (binnen dat systeem) bewijsbaar is, waarvan de al dan niet waarheid onbeslisbaar is. Je zou dan een poging kunnen doen om zo’n axioma of stelling aan te wijzen, maar dat doet Zwick niet. Hij blijft in het algemeen (en dus vaag) speken over ‘G’.
[3] Er is te onderscheiden tussen het metafysische (ontologische en epistemologische) stelsel dat de werkelijkheid representeert en de tekst daarover: de Ethica. In zekere zin is de Ethica het (formele) meta-stelsel dat gaat over het ontologisch-epistemologische metafysische werkelijkheidsgeheel. Zwick verwart deze (zie volgend punt).
[4] Tegenover de oneindige (zonder begin) productie van individuele fysieke dingen staat de eveneens oneindige (zonder begin) productie van de bijbehorende ideeën (volgens 2/7). Het is onzin om te beweren, zoals Zwick doet, dat die laatste een begin hebben (n.l. in de axioma’s). Ja, in Spinoza’s (meta)systeem, maar niet in de metafysische werkelijkheid. Zwick stelt: “One can imagine physical entailment without a beginning, but one cannot imagine formal entailment without a beginning.” (p. 48) Dat kan alleen maar iemand zeggen die de niveaus verwart die ik in punt 3 aanduidde. Volgens mij is best mogelijk een even oneindige ideeënproductie in de realiteit aan te nemen (maar uiteraard niet in een boek). Dat brengt me op het volgende punt.
[5] Dat tegenover de fysieke veroorzaking der uitgebreide dingen de LOGISCHE afleiding van ideeën staat is een aanname, die door Curley de wereld in is geholpen; met tegelijk het idee dat tegenover de natuurwetten van de fysische dingen de logische afleidingswetten van het denken staan. Het is voor mij nog maar de vraag of de generatie van ideeën uit ideeën uitsluitend en alleen langs de wetten van de logica kan geschieden. Alleen binnen die aanname is een argumentatie als Zwick levert op te bouwen. Maar ook dan blijft gelden dat praten over hoe de dingen gaan in de werkelijkheid, iets anders is dan over het daarover opgebouwde (meta-)systeem dat de Ethica is - en dat zie je bij Zwick steeds door elkaar lopen.
[5] Notiones communes zijn iets anders dan entia rationis! Bij gemeenschappelijke noties leiden we (al rationeel vergelijkend) af wat gemeen is in het deel en in het geheel. Notiones communes hebben aldus wel degelijk equivalenties in de fysieke werkelijkheid. Dat is het verschil met de entia rationis, als bijvoorbeeld de abstracte algemene begrippen als ‘de mens’, ‘de hond’ e.d., die geen equivalent hebben in de fysieke werkelijkheid en louter hulpmiddelen zijn bij het spreken (en denken). Zie daarover CM en Ethica 2/40S1. Zie eventueel ook: http://spinoza.blogse.nl/log/breviarium-spinozanum-woorden-zijn-van-de-verbeelding.html
Dat geldt in zekere zin ook voor ‘de cirkel’, die ook als ens rationis te zien zou zijn, maar wel met dit verschil dat daarvan een adequate generatieve definitie te geven is. Van de cirkel bestaat dus in God een (uiteraard adequaat) idee; maar bestaat ‘hij’ daarom in de fysieke werkelijkheid? Te spreken van ‘een’ fysieke cirkel in de uitgebreidheid als equivalent van de idee cirkel is uiteraard onzinnig (zie punt 6).
[6] Het is uiteraard onzin om te zeggen dat, daar van ‘de idee cirkel’ in God een adequaat idee bestaat ‘dus’ vanwege 2/7 in de uitgebreide werkelijkheid ‘die’ cirkel bestaat. We praten over een definitie of idee van de cirkel. Alle cirkels vanuit alle oneindige middelpunten, in alle mogelijke richtingen (vlakken) met alle mogelijke radii van alle oneindig vele lengten tussen nul en oneindig…? Ja die zíjn alle bevat in de idee van God op de wijze, zoals in 2/8 en 2/8s is toegelicht. Die kun je dus nergens vinden in de fysieke uitgebreide werkelijkheid!

Dit kan een heel boeiende en interessante discussie worden (ik verwacht Adrie nog). Ik kan daar maar mondjesmaat in mee doen en de kwestie zal ook niet in 1 klap verhelderd worden, denk ik. Van het begin af aan heeft mij de volgende passage in 2/7s geïntrigeerd. Ik hoop dat het relevant is in de discussie, parkeer hert anders maar even (ik vertaal zelf een beetje):
"zodat, zolang men de dingen als wijzen (modi) van denken beschouwt, men de hele orde van de natuur, ofwel de aaneenschakeling van oorzaken, moeten verklaren door het attribuut van het Denken alleen, en, zolang men ze beschouwt als wijzen (modi) van uitgebreidheid, zal de hele orde van de natuur eveneens alleen door het attribuut Uitgebreidheid moeten worden verklaard."
In de natuur zijn twee ordes te onderscheiden die 'parallel' zijn, een orde van het denken en een orde van uitgebreidheid. Maar daarnaast is er een intellect dat deze ordes BESCHOUWT en de natuur verklaart!

Ter toelichting op de punten onder [3] en [4] in mijn bovenstaande reactie, vermeld ik (wat het onderscheid dat ik bedoel wellicht iets helderder maakt): God of de Natuur gaat niet uit van axioma's; die zijn alleen nodig in een formele tekst over die God of Natuur. Die twee - werkelijkheid en tekst over die werkelijkheid - dienen uit elkaar te worden gehouden (wat Martin Zwick niet doet).
Spinoza is, aansluitend op de reactie van Henk Keizer, het intellect dat de de identieke ordes (van uitgebreidheid en denken) BESCHOUWT en de natuur (de werkelijkheid) verklaart.

Maar waar staat het intellect van Spinoza in deze natuur? En in welke orde staat dat?

Je stelt natuurlijk niet een vraag waarop je zelf het antwoord (een beetje) denkt te weten. Maar je blijft er over denken en dan komt er wat.
Spinoza staat zelf ook in die natuur, als een singulier ding, met lichaam en geest als modi van uitgebreidheid en denken. Maar als mens heeft hij zo'n geavanceerde natuur (in andere betekenis), lichamelijk en geestelijk, dat hij dingen kan gewaarworden, dingen kan waarnemen en kan denken. De gemeenschappelijke orde zit binnen Spinoza zelf. Kijk maar eens naar stelliing 1 van deel V.

Alleen, hoe zit het met ideeën in de orde van het intellect, die voor alle mensen gelijk is?

Mark,
Je hebt gelijk dat 'ideeën van Ideeën' niet een direct correlaat in de uitgebreidheid hebben, om de eenvoudige reden dat er geen 'dingen van dingen' in de uitgebreidheid bestaan maar alleen dingen-sec. Echter, er is wel degelijk een parallellie, maar een indirecte. Waarom? Omdat ideeën van Ideeën terug te voeren zijn als correlerend met één of meerdere dingen in de werkelijkheid. Twee voorbeelden:
1. De universalia: door gewoonte, opvoeding en onderwijs hebben we empirisch kennis van bijvoorbeeld het universalium 'mens'. Dus uit de ervaring van vele individuele mensen, die gecorreleerd zijn aan even zovele ideeën, abstraheren we, via het psychologische mechanisme van de associatie, een inadequaat idee van idee, het begrip 'mens', 1e kensoort (E2p18;p40s1). Deze bestaat alleen in de mens, want God kent geen inadequate ideeën, dus ook geen universalia. In God bestaat alleen een adequaat idee van ieder individueel mens.
2. de gemene noties (=not.comm.). We hebben ervaring met bijv. cirkelachtige zaken in de uitgebreidheid. Daaruit abstraheren we d.m.v. het verstand, 2e kensoort, een adequaat idee van idee, eerst van een perfecte cirkel, en vervolgens van een aantal wetmatigheden, die bevestigen dat onze idee van de perfecte cirkel waar is en opgaat voor elke cirkel. Van deze cirkel nu, is er in het verstand van God en van de mens een adequaat idee, en, volgens de parallellisme-these een ding in Gods uitgebreidheid. De gehele meetkunde moeten wij verstandelijk abstraheren uit onze inadequate ervaringen met de uitgebreidheid, maar God heeft directe en volmaakte kennis van de uitgebreidheid, dus ook van de meetkunde, die voor God en mens dezelfde is. Dat is een van de aspecten van, wat Spinoza noemt, de macht van het menselijke verstand.

Ik laat mijn eigen punt (tot welke 'gemeenschappelijke orde' behoren ideeën van het intellect) geparkeerd staan. Tegen Adrie zeg ik alleen (de discussie was er al uitgebreid en eindigde met mijn bezwering dat gemene noties geen ideeën van ideeën zijn): je blijft 'denken' hardnekkig 'ideeën van ideeën' noemen, bij Spinoza heeft die term een andere betekenis (zie 2/20 e.v.). Als Spinoza het heeft over de geest die verschillende dingen tegelijk beschouwt om te begrijpen waarin deze overeenkomen, verschillen of tegengesteld zijn (2/29s), dan heeft hij het niet over 'ideeën van ideeën'.
Dan de idee van de volmaakte cirkel. Wat beantwoordt er aan in de fysieke werkelijkheid? Ik denk dat het ideeën van wetmatigheden zijn die het intellect in de werkelijkheid ontdekt. En een wetmatigheid heeft nu eenmaal geen lichaam, wordt wel aan lichamen ontdekt.

Henk,
Met je opmerking over de cirkel ben ik het eens, en ik geef toe dat het bestaan van de perfecte cirkel in Gods uitgebreidheid neigt naar luchtfietserij. Wel ben ik van mening dat de wetmatigheid een door denken afgeleid correlaat heeft in de werkelijkheid, namelijk de oneindige modus 'beweging en rust''. Uitgebreidheid beweegt. We nemen beweging en rust waar in de uitgebreidheid (= idee van 'object'), en leiden daaruit door zuiver denken een wetmatigheid af (idee van idee van 'object')

Henk, het antwoord op jet vraag "tot welke 'gemeenschappelijke orde' behoren ideeën van het intellect", vind je hier:

http://www.grenswetenschap.nl/permalink.asp?i=9055

Stan, kun je iets specifieker zijn? ik kan op die site niets vinden dat met mijn vraag te maken heeft.

Maar misschien. We hebben adequate ideeën van zaken die gemeenschappelijk zijn aan alles en zowel in het geheel als in de delen zijn (2/38). Van die zaken hebben we een ware idee, een idee dus die overeen komt met haar 'ideatum'. Je kunt dan zeggen dat in de ideeën dezelfde orde en samenhang heersen als in haar ideata. Maar dat is een andere 'gemeenschappelijke orde' dan die welke in de natuur heerst (2/7s). Dat is een overeenkomst tussen een idee en haar 'objectum'. Wat in een objectum gebeurt, gebeurt ook in de idee of mind van het objectum (die verenigd is met het objectum).
Een adequaat idee is iets dat gebeurt in mijn geest. Nu was mijn vraag: wat is het 'objectum' van mijn geest, het fysieke waar iets gebeurt in dezelfde orde en samenhang? Het is in dit geval niet mijn specifieke lichaam (zoals in 5/1), want de orde van het intellect is voor alle mensen gelijk. Dan is het misschien de orde in het gemeenschappelijke van de natuur van de mensen (wat gemeenschappelijk is aan alle mensen en zowel in de delen als in het geheel is).

Henk, je geeft zelf op voortreffelijke wijze antwoord op je eigen vraag. Het is duidelijk dat je daar al veel over gedacht hebt.
Mijn verwijzing naar die site was deels een 'duivels grapje' (daar ik ergens boos om was), maar deels ook terecht, want daar is te lezen:
"Volgens Nederlander Benedict de Spinoza (1632-1677) is alles in het universum één. Er is slechts één substantie en die substantie kunnen we als God of als natuur opvatten. Ieder mens is een plaatselijke concentratie van deze substantie, maar is niet echt een individu, want het enige ware is het universum in zijn geheel."
Uiteraard zijn we voor Spinoza wél een individu, maar vooral ook een God-modus. En de modi mensen hebben veel gemeenschappelijk.
Er ís "een gemeenschappelijke orde van de natuur van de mensen" die uiteindelijk te maken heeft met de eenheid die de substantie is.

Stan, ik denk dat jouw reactie op Mark Behets en het artikel van Zwicks, nog eens nagelezen, zeer to the point is. Dat ik er niet op reageerde komt waarschijnlijk omdat ik het artikel van Zwicks niet heb gelezen en ook niet van plan ben te gaan lezen. Ik heb intussen wel "Spinoza und Schleiermacher: Die Kritische Lösung des von Spinoza Hinterlassenen Problems" ontvangen, dat ik wel van plan ben te gaan lezen. (Wist jij dat het een herdruk was in het oud-Duitse (?) schrift was?)

Dat het boek van Theodor Camerer, Spinoza und Schleiermacher, 100 jaar oud was en dat het om een herdruk ging, staat in het betreffende blog. Dat het dan waarschijnlijk in Gotisch is, is het risico. Maar als je erin bezig bent, went het wel.

Stan, Henk en Adrie allemaal hartelijk bedankt voor jullie reactie. Dat ik nu pas terug op antenne kom heeft te maken met de beperktheid van mijn assimilatievermogen ten opzichte van de grote hoeveelheid nieuwe inzichten die jullie me brachten: ik was steeds nog aan het nadenken over een gepubliceerde reactie als er al weer een volgende kwam… Ik ben ook nu alles behalve zeker dat ik alle reacties juist begrepen heb, en daarom ga ik nu een poging doen om het voor mij belangrijkste eens in mijn eigen woorden te hertalen, er op vertrouwend dat jullie me zullen corrigeren waar nodig. Hier ga ik dan:
Naast ideeën met als ideatum een concreet ding (hiermee bedoel ik een bestaande eindige modus van de uitgebreidheid), zijn er ook “ideeën van het intellect” die geen concreet ding hebben als ideatum, maar wel een wetmatigheid, een notio communis, een ens rationis, een axioma, een definitie…
Deze “ideeën van het intellect” bestaan in de menselijke geest, en hebben dan als correlatum (= de parallelle modus in de uitgebreidheid, mi door Henk objectum genoemd) een bepaalde configuratie in de (hersenen van) het menselijk lichaam. Ze bestaan ook in God en hebben dan als correlatum de oneindige modus “beweging en rust” (in het bepaalde geval dat het ” idee van het intellect” de definitie van een cirkel is, zou ik zelfs durven suggereren dat er een oneindige modus “rondheid” mee correleert, maar dan begeef ik me buiten het terrein van Spinoza’s teksten).
Aangezien de “ideeën van het intellect” in God bestaan, is de orde ervan dezelfde voor alle mensen.
Tenslotte, als toemaatje, doe ik zelf een poging om dit alles te koppelen aan Goedel, vanuit een andere benadering dan Martin Zwick:
Naast het aantonen van de onvolledigheid van elk axiomatisch systeem (negatieve interpretatie), toont het bewijs van Goedels stelling ook aan dat de formeel niet-bewijsbare Goedel propositie wel degelijk waar is, of dat wiskundige waarheid iets “absolute and God given” is (Roger Penrose), iets oneindig ook. Tot dat besluit was Spinoza al veel eerder gekomen.